直线过定点升级版——对合变换的复合

作者: 饕餮大叔
原文链接: https://zhuanlan.zhihu.com/p/685079968

全文摘要

本文主要解决以下问题并推广：

观点理解

在圆锥曲线的一些问题中，直线过定点往往与对合变换有关。我们知道，如果一个变换是对合变换，则有，若也是对合变换，则有

$观点一：是对合变换$

$证明：$

$是对合变换，证毕$

注意到以上证明过程中中间的项被成批地消去，我们同样可以证明：

$观点二：是对合变换，$
$任意多个的复合也是对合变换$

更一般的，有：

$观点三：若均为对合变换，$
$则任意多个的复合也是对合变换。$

三个小结论

以上几乎是显然的，但是如果我们将这样一个简单的事实加以包装，放入圆锥曲线恒过定点的语境下，就可以得到一些（可能）有趣的结果：

$结论一：取定两点，，对于圆锥曲线上的任一点，$

$则当遍历圆锥曲线时，过定点。$

图1,其中C_3为定点

结论1证明： $设点对应的对合变换是，点对应的对合变换是，$

$由于是对合变换，故过定点，证毕$

注：以上结论一告诉我们，若
则存在一个新的点可以构建起一个从到的直接的映射
$也即的过程$
如果我们把叫做一个”操作”，
则一次操作后得到，过定点，由观点二，
若对继续做的操作，得到，
那么也会过定点（设为）。
如此一直操作下去，得到无数个定点，我们设为
若将这些点一一画出，则会发现这些点都在直线上！
初次看这是奇妙的，仔细证明发现也是理所应当的，
因为有 Pascal定理：

$结论二：取定两点，任取圆锥曲线上一点，$
$，$

$那么过定点且与共线$

图中仅证明了C_3，其余同理（doge

若继续考虑观点三，则可以得到”满天星”的结果：

$结论三：取定任取圆锥曲线上一点$

$则过定点（记作）$

$如此按照$

$的顺序对做同样的操作，$

$得到，$

$则过定点，且，与共直线$

图4，n=3，图中辅助线仅显示了C_5的作图过程

结论三的前半部分（过定点）只需考虑观点三即可证出，后半部分仿照前例Pascal定理或许可以证出（笔者仅用 Geogebra 验证了n=3的情形，猜测n个点的情形大概率也是正确的，恳请大佬们指点更加简洁的理解与证明，不胜感激！）

注：说明是复杂的，作图是简明且有趣的，读者不妨动笔一试。

一道高考题

这里仅考虑（3）：若用流程图来表示点的生成过程，即得：

由结论二，AB过定点，且该定点在直线PQ上，结合题目暗示（要求我们求斜率），说明此定点为无穷远点，且在直线PQ上，说明AB//PQ

以上流氓般地求出了k的值，虽然不算太光彩，但从对合的观点看此问题全然可以任意取定P，Q位置而让我们去求AB所过定点，不过此题条件特殊化了，定点是无穷远点且在直线PQ上。事实上，这篇文章的创作动机正是基于此题的一般化思考。

写在后面（3.5）

以上所有工作的出发点都是基于这条对合的基本性质而没有涉及具体的坐标运算，这直接导致了我们在刻画定点时鞭长莫及，无从下手，以致于在证明共线时底气不足，这是需要进一步改进的。

编程实现初步（需要numpy库）3.19

import numpy as np
a=float(input("椭圆a="))
c=float(input("椭圆c="))
e=c/a
xp=float(input("输入定点坐标xp="))
yp=float(input("输入定点坐标yp="))
xq=float(input("输入定点坐标xq="))
yq=float(input("输入定点坐标yq="))
A1=xp+c
A2=xq+c
B1=e*xp+a
B2=e*xq+a
P=np.array([[A1,yp-B1],[B1+yp,-A1]])
Q=np.array([[A2,yq-B2],[B2+yq,-A2]])
M1=np.dot(Q,P)
M=np.dot(P,M1)
I1=np.array([[0,1],[1,0]])
I2=np.array([[0,1],[-1,0]])
S1=np.dot(I1,M)
S2=np.dot(I2,M)
s1=np.trace(S1)
s2=np.trace(S2)
print("分母=",((s1*(xp-xq))/2-(s2*(yp-yq))/(2*e)))
t=(xp*yq-xq*yp-(a/e)*(yp-yq))/((s1*(xp-xq))/2-(s2*(yp-yq))/(2*e))
x=(t*s2-2*a)/(2*e)
y=(t*s1)/2
print("x=",x)
print("y=",y)

以上（x,y）为两点复合所过定点坐标